“Prova de Matemática: Posições Relativas de Pontos e Circunferências”
Tema: POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Etapa/Série: 8º ano
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – 8º Ano
Tema: Posições Relativas de um Ponto em Relação a uma Circunferência
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Instruções: Leia atentamente cada questão e responda da forma solicitada. A prova é composta por 10 questões, abrangendo diferentes níveis de dificuldade. Boa sorte!
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Questões
1. (Múltipla Escolha)
Um ponto P é considerado:
a) Interior à circunferência se a distância do centro até P for igual ao raio.
b) Exterior à circunferência se a distância do centro até P for maior que o raio.
c) Pertencente à circunferência se a distância do centro até P for menor que o raio.
d) Exterior à circunferência se a distância do centro até P for exatamente igual ao raio.
Qual alternativa está correta?
2. (Verdadeiro ou Falso)
Um ponto localizado exatamente na circunferência tem distância igual ao raio em relação ao centro da circunferência.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
3. (Completar a Frase)
Se a distância de um ponto A ao centro de uma circunferência é ___________ a medida do raio, podemos concluir que o ponto está ___________ à circunferência.
4. (Dissertativa)
Explique como você pode determinar se um ponto está dentro, fora ou na circunferência, considerando um centro de circunferência em (0,0) e um raio de 5 unidades. Dê exemplos de pontos que estejam em cada uma dessas posições.
5. (Múltipla Escolha)
Considere uma circunferência com centro C(2, 3) e raio 4. Qual das opções a seguir representa um ponto que está fora da circunferência?
a) (6, 3)
b) (2, 7)
c) (2, 4)
d) (1, 1)
6. (Verdadeiro ou Falso)
A distância do ponto (3, 4) ao centro da circunferência C(0, 0) é calculada pela fórmula da distância, que é √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
( ) Verdadeiro
( ) Falso
7. (Dissertativa)
Considere uma circunferência de raio 10 e um ponto A(6, 8). Calcule a distância do ponto A ao centro da circunferência, que está na origem (0,0). Determine se A está dentro, fora ou na circunferência, explicando o processo de interpretação dos resultados.
8. (Múltipla Escolha)
Qual é a relação correta entre um ponto e uma circunferência de raio 3 centrada na origem, se nós temos um ponto B(0, 5)?
a) B está dentro da circunferência.
b) B está na circunferência.
c) B está fora da circunferência.
d) Não é possível determinar.
9. (Completar a Frase)
Para verificar a posição relativa de um ponto ao raio de uma circunferência, devemos comparar a __________ do ponto até o centro da circunferência com a __________.
10. (Dissertativa)
Um arquiteto está projetando um jardim circular, e um ponto representando uma árvore está em (2, 3). O centro da circunferência é (0,0) e o raio é 5. Explique se a árvore está dentro, fora ou sobre a circunferência e justifique sua resposta com cálculos.
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Gabarito
1. Resposta: b
Justificativa: O ponto P é exterior à circunferência se a distância ao centro for maior que o raio.
2. Resposta: ( ) Verdadeiro
Justificativa: A definição de um ponto na circunferência é que a distância ao centro deve ser igual ao raio.
3. Resposta:
“menor que” / “dentro”
Justificativa: A frase completa diz que se a distância ao centro for menor que o raio, o ponto está dentro da circunferência.
4. Resposta:
A distância pode ser determinada usando a fórmula da distância Euclidiana. Exemplos:
– Dentro: (2,2) (distância 2, menor que 5).
– Na circunferência: (5,0) (distância 5, igual a 5).
– Fora: (6,0) (distância 6, maior que 5).
5. Resposta: c
Justificativa: O ponto (1, 1) possui distância de √((1-2)² + (1-3)²) = √(1 + 4) = √5 < 4, portanto, está dentro da circunferência.
6. Resposta: ( ) Verdadeiro
Justificativa: A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é correta.
7. Resposta:
A distância é calculada como √((6-0)² + (8-0)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Portanto, A está exatamente na circunferência.
8. Resposta: c
Justificativa: A distância ao centro é 5 (√(0² + 5²)), que é maior que o raio 3, portanto, B está fora da circunferência.
9. Resposta:
“distância” / “raio”
Justificativa: A frase ensina que a posição do ponto é determinada em relação à distância até o centro comparada ao raio da circunferência.
10. Resposta:
A distância ao centro é √((2-0)² + (3-0)²) = √(4 + 9) = √13, que é aproximadamente 3.6, menor que 5. Assim, a árvore está dentro da circunferência.
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Essas questões exigem que os alunos compreendam conceitos fundamentais de geometria e apliquem habilidade de cálculo, além de desenvolver um raciocínio lógico e crítico ao analisar as posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência.
