Prova de Matemática: Quadriláteros, Teorema de Tales e Triângulos
Tema: Quadrilátero notáveis, Teorema de Tales, semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo.
Etapa/Série: 1º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 20
Prova de Matemática e suas Tecnologias – 1º Ano do Ensino Médio
Tema: Quadriláteros Notáveis, Teorema de Tales, Semelhança de Triângulos e Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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Instruções:
– Leia atentamente cada questão.
– Responda com clareza, justificando suas respostas quando solicitado.
– O tempo estimado para a realização da prova é de 90 minutos.
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Questões
1. (Múltipla escolha) Quais dos seguintes quadriláteros são considerados notáveis?
a) Quadrado
b) Retângulo
c) Losango
d) Todos os anteriores
e) Nenhum dos anteriores
2. (Verdadeiro ou Falso) O Teorema de Tales afirma que, se duas linhas retas são paralelas, os segmentos formados por essas linhas e uma transversal são proporcionais.
– ( ) Verdadeiro
– ( ) Falso
3. (Dissertativa) Defina o que é um triângulo semelhante e explique as condições necessárias para que dois triângulos sejam considerados semelhantes.
4. (Completar) Nos triângulos retângulos, o _______________ é o lado oposto ao ângulo de 90 graus e é o mais longo dos lados.
5. (Múltipla escolha) Em um triângulo retângulo, qual é a relação correta entre os lados?
a) a² + b² = c², onde c é a hipotenusa
b) a² + c² = b²
c) a + b = c
d) a² – b² = c²
6. (Dissertativa) Um trapezóide é um quadrilátero que possui apenas um par de lados paralelos. Discuta como o Teorema de Tales pode ser aplicado para determinar a altura de um trapezóide, considerando um dos seus lados como base.
7. (Múltipla escolha) Num triângulo ABC, se os ângulos A e B são respectivamente 30° e 60°, qual é a relação entre os lados opostos a esses ângulos?
a) a/c = 1/2
b) b/c = 1/√3
c) a/b = 1/√3
d) Todas as anteriores
8. (Verdadeiro ou Falso) Se dois triângulos são semelhantes, suas áreas estão na razão do quadrado das medidas de seus lados correspondentes.
– ( ) Verdadeiro
– ( ) Falso
9. (Dissertativa) Explique, com um exemplo prático, como a semelhança de triângulos pode ser utilizada na medição de alturas não acessíveis, como a altura de uma árvore.
10. (Completar) O _____________________ é uma propriedade dos triângulos semelhantes que afirma que os lados correspondentes são proporcionais entre si.
11. (Múltipla escolha) Qual das alternativas a seguir representa um quadrilátero que tem todos os lados iguais e é considerado um quadrilátero notável?
a) Retângulo
b) Quadrado
c) Trapézio
d) Paralelogramo
12. (Verdadeiro ou Falso) Para aplicar o Teorema de Tales, é necessário que as retas não sejam paralelas.
– ( ) Verdadeiro
– ( ) Falso
13. (Dissertativa) Aplique o Teorema de Tales na seguinte situação: um arquiteto está projetando um edifício e precisa determinar a altura do prédio usando uma régua e um nível.
14. (Múltipla escolha) Se um triângulo retângulo tem um dos ângulos agudos medindo 45°, qual a relação entre os lados que formam esse ângulo?
a) Os lados são iguais
b) O lado oposto é o dobro do lado adjacente
c) O lado adjacente é o quádruplo do lado oposto
d) Não há relação específica
15. (Verdadeiro ou Falso) Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 270°.
– ( ) Verdadeiro
– ( ) Falso
16. (Completar) A relação entre o perímetro de um triângulo semelhante é igual à razão dos lados correspondentes, enquanto a relação entre suas ___________________ está na razão do quadrado das medidas correspondentes.
17. (Múltipla escolha) Para um triângulo ABC, se a/3 = b/4 = c/5, o que podemos afirmar sobre a semelhança de triângulos?
a) Os triângulos não são semelhantes
b) Os triângulos são semelhantes com razão 3:4:5
c) Os triângulos são semelhantes com razão 5:4:3
d) Não é possível afirmar
18. (Dissertativa) Discuta como o conceito de semelhança de triângulos pode ser aplicado na construção de maquetes.
19. (Verdadeiro ou Falso) O Teorema de Tales pode ser utilizado para demonstrar que os ângulos formados por uma transversal e duas retas paralelas são alternados entre si.
– ( ) Verdadeiro
– ( ) Falso
20. (Completar) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é sempre __________ que a soma das medidas dos outros dois lados.
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Gabarito Detalhado
1. Resposta: d – Todos os quadriláteros citados (quadrado, retângulo e losango) são quadriláteros notáveis.
2. Resposta: Verdadeiro – O Teorema de Tales diz que segmentos formados por transversais em linhas paralelas são proporcionais.
3. Resposta: Triângulos semelhantes são aqueles que têm seus ângulos correspondentes iguais e, portanto, suas proporções entre os lados são constantes. As condições para a semelhança incluem: Se dois ângulos de um triângulo são iguais aos ângulos de outro triângulo, ou se os lados do triângulo são proporcionais.
4. Resposta: hipotenusa – A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus em um triângulo retângulo.
5. Resposta: a – É a forma correta do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo.
6. Resposta: O Teorema de Tales pode ser usado ao traçar um segmento vertical desde a parte superior de um trapezóide para encontrar sua altura e formar triângulos semelhantes.
7. Resposta: d – Todas as relações estão corretas e se baseiam nas propriedades dos triângulos retângulos.
8. Resposta: Verdadeiro – As áreas dos triângulos semelhantes estão na razão do quadrado dos lados correspondentes.
9. Resposta: Por exemplo, ao medir a sombra de uma árvore e a sombra de um objeto conhecido, podemos usar a semelhança de triângulos para calcular a altura da árvore.
10. Resposta: proporção – A proporção é a propriedade que descreve a relação entre lados correspondentes de triângulos semelhantes.
11. Resposta: b – Quadrado tem todos os lados iguais e é um quadrilátero notável.
12. Resposta: Falso – O Teorema de Tales só se aplica quando as retas são paralelas.
13. Resposta: O arquiteto pode traçar uma linha do nível do solo até a ponta do edifício e, usando o Teorema de Tales, determinar a altura através da proporção entre as medidas de referência e a altura observada.
14. Resposta: a – Em um triângulo retângulo 45°-45°-90°, os lados que formam o ângulo são iguais.
15. Resposta: Falso – A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
16. Resposta: áreas – A relação entre as áreas dos triângulos é a razão dos quadrados das medidas correspondentes.
17. Resposta: b – Os triângulos são semelhantes, pois 3:4:5 é a razão das medidas.
18. Resposta: Ao construir maquetes, o conceito de semelhança de triângulos permite que os artistas e engenheiros mantenham as proporções corretas em escalas menores.
19. Resposta: Verdadeiro – Este é um dos princípios fundamentais dos ângulos alternados em linhas paralelas.
20. Resposta: menor – A hipotenusa é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados em um triângulo retângulo.
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Essa prova foi elaborada para avaliar tanto a compreensão básica quanto a aplicação prática dos conceitos de quadriláteros notáveis, Teorema de Tales, semelhança de triângulos e relações métricas no triâng
