Prova de Matemática: Questões sobre a Relação de Euller
Tema: Relação de Euller
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática: Relação de Euller
Instruções: Responda as questões a seguir, escolhendo a alternativa correta entre as opções oferecidas. Cada questão vale 1 ponto. Boa prova!
Questões
1. (AC) O que a Relação de Euller estabelece em um grafo?
– a) A soma das arestas é igual ao número de vértices.
– b) A soma das degraus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas.
– c) A quantidade de arestas em um grafo é irrelevante para a determinação de conexões.
– d) A distância entre vértices é sempre igual em um grafo conexo.
2. (BC) Considerando um grafo simples que possui 6 vértices e 7 arestas, qual é a soma dos graus dos vértices desse grafo?
– a) 6
– b) 7
– c) 12
– d) 14
3. (AC) Em um grafo, um vértice de grau ímpar implica que:
– a) O grafo é bipartido.
– b) O número de arestas é sempre par.
– c) O grafo não pode ser euleriano.
– d) Não existe caminho que passa por todas as arestas.
4. (BC) Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o que é um caminho euleriano?
– a) Um caminho que visita todos os vértices exatamente uma vez.
– b) Um caminho que utiliza todas as arestas do grafo exatamente uma vez.
– c) Um caminho que inicia e termina no mesmo vértice.
– d) Um qualquer ciclo existente em um grafo.
5. (AC) Para que um grafo tenha um circuito euleriano, é necessário que:
– a) Todos os vértices tenham grau ímpar.
– b) Todos os vértices tenham grau par.
– c) O grafo contenha pelo menos um vértice de grau par.
– d) O grafo tenha pelo menos duas componentes conexas.
6. (BC) O que um grafo deve apresentar para ter um caminho euleriano, segundo a Relação de Euller?
– a) Todos os vértices com grau ímpar.
– b) No máximo dois vértices com grau ímpar.
– c) Vértices isolados.
– d) Um ciclo que percorra todos os vértices.
7. (AC) Se em um grafo de 8 vértices existem 10 arestas, qual é a soma dos graus dos vértices?
– a) 8
– b) 10
– c) 20
– d) 18
8. (BC) Qual é a característica de um grafo euleriano em relação aos graus dos seus vértices?
– a) Todos os vértices têm grau ímpar.
– b) Todos os vértices têm grau par e o grafo é conexo.
– c) Há exatamente um vértice de grau par.
– d) O número de vértices de grau par é sempre menor que o de grau ímpar.
9. (AC) Em um grafo, se tem-se um único vértice de grau 3 e todos os outros vértices possuem grau 4, o que pode ser afirmado sobre a possibilidade de existir um caminho euleriano?
– a) É impossível existir um caminho euleriano.
– b) Existindo um vértice com grau ímpar, o caminho euleriano é garantido.
– c) Todos os grafos têm um caminho euleriano independentemente dos graus dos vértices.
– d) O número de arestas não influencia na condição de eulerianidade.
10. (BC) Considere um grafo que possui 5 vértices e 5 arestas e os graus dos vértices são: 2, 2, 2, 1, e 1. É possível que esse grafo tenha um circuito euleriano?
– a) Sim, pois todos os vértices têm grau par.
– b) Não, pois há vértices de grau ímpar.
– c) Sim, desde que as arestas sejam adequadamente distribuídas.
– d) Não, pois o número total de arestas não é suficiente.
Gabarito
1. b – A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre igual a duas vezes o número de arestas, segundo a Relação de Euller.
2. c – A soma dos graus é dada por 2 vezes o número de arestas: 2 * 7 = 14.
3. c – Um grafo com um verificatório de grau ímpar não pode ser euleriano.
4. b – Um caminho euleriano é aquele que usa todas as arestas exatamente uma vez.
5. b – Para haver um circuito euleriano, todos os vértices precisam ter grau par.
6. b – Um grafo pode ter no máximo dois vértices de grau ímpar para haver um caminho euleriano.
7. c – A soma dos graus é 2 vezes o número de arestas, então 2 * 10 = 20.
8. b – Um grafo euleriano deve ter todos os vértices de grau par e ser conexo.
9. a – Com um único vértice de grau ímpar, um caminho euleriano não pode existir.
10. b – A presença de vértices com grau ímpar indica que não é possível ter um circuito euleriano.
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Essa prova foi elaborada para avaliar a compreensão e a capacidade de aplicação dos alunos em relação à Relação de Euller, contemplando conceitos fundamentais da teoria dos grafos.
