“Prova de Matemática: Limites para o 3º Ano do Ensino Médio”
Tema: limite
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Questões: 10
Prova de Matemática – Tema: Limite
3º Ano do Ensino Médio
Instruções: Leia atentamente cada questão e responda com clareza. Utilize o espaço disponível para suas justificativas nas questões dissertativas.
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Questão 1: (Múltipla escolha)
O limite de uma função ( f(x) ) conforme ( x ) se aproxima de 2 é 5. Qual das alternativas abaixo indica adequadamente essa situação?
a) ( lim_{x to 2} f(x) = 2 )
b) ( lim_{x to 2} f(x) = 5 )
c) ( f(2) = 5 )
d) ( f(x) ) não tem limite en torno de 2.
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Questão 2: (Verdadeiro ou Falso)
O limite de uma função pode ser diferente do valor da função no ponto onde o limite é calculado.
( ) Verdadeiro
( ) Falso
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Questão 3: (Dissertativa)
Explique, com suas próprias palavras, a relação entre continuidade de uma função e a existência de limites. Dê um exemplo de uma função contínua e uma função que não é contínua.
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Questão 4: (Completar frases)
O conceito de limite é fundamental na análise de ___________ e ___________ das funções, permitindo estudar seu comportamento quando a variável se aproxima de um determinado valor.
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Questão 5: (Múltipla escolha)
Qual das seguintes expressões define a derivada de uma função ( f(x) ) em um ponto ( a ) utilizando o conceito de limite?
a) ( f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h) – f(a)}{h} )
b) ( f'(a) = lim_{x to a} frac{f(x)}{a} )
c) ( f'(a) = lim_{x to infty} f(x) )
d) ( f'(a) = frac{f(a+h) + f(a)}{h} )
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Questão 6: (Dissertativa)
Calcule o limite ( lim_{x to 3} frac{x^2 – 9}{x – 3} ) e justifique o seu resultado mostrando todos os passos.
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Questão 7: (Verdadeiro ou Falso)
Se ( lim_{x to a} f(x) = L ) e ( f(a) = L ), então o limite é uma representação exata do valor da função no ponto ( a ).
( ) Verdadeiro
( ) Falso
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Questão 8: (Múltipla escolha)
Qual dos seguintes limites representa uma indeterminação do tipo ( frac{0}{0} )?
a) ( lim_{x to 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} )
b) ( lim_{x to 2} frac{x^2 + 3x + 2}{x – 2} )
c) ( lim_{x to 0} frac{1}{x} )
d) ( lim_{x to 4} frac{x^2 – 16}{x – 4} )
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Questão 9: (Dissertativa)
Descreva como os limites são utilizados na definição integral de funções. Cite suas aplicações em contextos da vida real.
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Questão 10: (Completar frases)
Os limites são essenciais na definição de ____________, o que permite entender a taxa de variação de uma função em um instante específico. Além disso, eles são a base para o cálculo de ____________.
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Gabarito
1. b) ( lim_{x to 2} f(x) = 5 )
Justificativa: A afirmação correta reflete exatamente a definição de limite conforme x se aproxima de 2.
2. Verdadeiro
Justificativa: Isso é verdadeiro, pois uma função pode ter um limite mesmo não estando definida ou tendo valor diferente nesse ponto.
3. Resposta esperada: A relação entre continuidade e limites é que uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função. Exemplo: ( f(x) = x^2 ) (continua), ( g(x) = frac{x^2 – 1}{x – 1} ) (não continua em x = 1).
4. Resposta esperada: O conceito de limite é fundamental na análise de tendências e comportamentos das funções.
5. a) ( f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h) – f(a)}{h}
Justificativa: Esta é a definição da derivada baseada em limite.
6. Resposta esperada: ( lim_{x to 3} frac{x^2 – 9}{x – 3} = lim_{x to 3} frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = lim_{x to 3} (x + 3) = 6).
7. Falso
Justificativa: O fato de o limite ser igual ao valor da função no ponto não garante a continuidade em todos os casos.
8. a) ( lim_{x to 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} )
Justificativa: A expressão resulta em ( frac{0}{0} ) quando ( x ) se aproxima de 1.
9. Resposta esperada: Os limites são utilizados na definição do cálculo integral através do conceito de soma de Riemann e são aplicados na física, economia e engenharia para calcular áreas, volumes e taxas.
10. Resposta esperada: Os limites são essenciais na definição de derivadas, o que permite entender a taxa de variação de uma função em um instante específico. Além disso, eles são a base para o cálculo de integrales.
