“Prova de Matemática: Sistemas e Equações do 1º e 2º Grau”
Tema: sistema, equação de 1º grau, equação de 2º grau
Etapa/Série: 3º ano – Ensino Médio
Disciplina: Matemática e suas Tecnologias
Questões: 20
Prova de Matemática e suas Tecnologias
Tema: Sistema, Equação de 1º Grau e Equação de 2º Grau
3º Ano – Ensino Médio
Instruções: Responda todas as questões a seguir. As questões variam entre múltipla escolha, verdadeiro ou falso, dissertativas e completar frases. Leia atentamente cada alternativa e justifique suas respostas nas questões dissertativas.
Questões
Questão 1: O que caracteriza uma equação do 1º grau? Explique com suas próprias palavras.
Questão 2: Resolva o seguinte sistema de equações:
1) 2x + 3y = 12
2) x – y = 2
Questão 3: Qual das alternativas a seguir é uma solução da equação 2x + 5 = 15?
b) 10
c) 2
d) 0
Questão 4: O gráfico da função y = 3x + 1 é uma reta. Qual é a inclinação e a interseção com o eixo y dessa reta?
Questão 5: (V ou F) Uma equação do 2º grau pode ter até duas raízes reais. Justifique sua resposta.
Questão 6: Considerando a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, explique o que representa o discriminante e como ele pode ser utilizado para determinar o número de soluções da equação.
Questão 7: Resolva a equação x² – 4x – 5 = 0 utilizando a fórmula de Bhaskara.
Questão 8: Se um sistema de equações possui infinitas soluções, o que isso nos diz sobre as retas representadas graficamente? Explique.
Questão 9: Complete a frase: O discriminante é dado por Δ = ____. Se Δ > 0, as raízes são ____. Se Δ = 0, as raízes são ____. Se Δ < 0, as raízes são ____.
Questão 10: Resolva o seguinte sistema de equações:
1) 3x – y = 7
2) 2x + y = 5
Questão 11: Um arquiteto está projetando uma estrutura em forma de parabolóide. A equação que descreve a seção transversal da estrutura é y = ax² + bx + c. Discuta de forma breve como o coeficiente ‘a’ influencia a concavidade da parábola.
Questão 12: (V ou F) Um sistema consistente tem uma única solução. Justifique sua resposta.
Questão 13: Se o custo de um produto é descrito pela equação C(x) = 5x + 20, onde x é o número de unidades produzidas, qual é o custo fixo e o custo variável por unidade?
Questão 14: Qual a solução da equação 3(x – 2) = 2(3x + 1)? Justifique o seu raciocínio.
Questão 15: Explique o que é um sistema incompatível e forneça um exemplo de um sistema de equações que o represente.
Questão 16: A função quadrática f(x) = x² – 6x + 8 é dada. Determine as raízes da função utilizando o método que preferir e discorra sobre a relação entre as raízes e o gráfico da função.
Questão 17: (V ou F) Qualquer equação do 1º grau pode ser reescrita na forma y = mx + b. Justifique sua resposta.
Questão 18: Explique a relação entre a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau e os coeficientes da equação.
Questão 19: O que é uma forma canônica de uma função do 2º grau? Dê um exemplo.
Questão 20: Um produto é oferecido a um preço de R$ 100,00, e a loja oferece um desconto de 15%. Qual é o preço final do produto após o desconto? Resolva utilizando uma equação do 1º grau.
Gabarito
Questão 1: Resposta livre. Deve caracterizar que é uma equação do 1º grau, que é do tipo ax + b = 0, onde a ≠ 0.
Questão 2: x = 3, y = 2; substituindo em ambos, atende às equações.
Questão 3: c) 2 (2 é a solução correta, pois 2*2 + 5 = 15).
Questão 4: Inclinação: 3; interseção com o eixo y: 1.
Questão 5: Verdadeiro. Justificativa: uma equação do 2º grau pode ter até duas raízes reais distintas dependendo do valor do discriminante.
Questão 6: O discriminante Δ = b² – 4ac determina o número de raízes. Se Δ > 0, duas raízes; Δ = 0, uma raiz;Δ < 0, nenhuma raiz real.
Questão 7: Raízes: x = 5 e x = -1 (usando Bhaskara).
Questão 8: As retas são coincidentes, indicando que uma equação é múltiplo da outra.
Questão 9: Δ = b² – 4ac; Δ > 0, duas raízes; Δ = 0, uma raiz; Δ < 0, raízes complexas.
Questão 10: x = 3, y = 2, substanciando satisfaz ambas.
Questão 11: Se ‘a’ > 0, a parábola é côncava para cima; se ‘a’ < 0, côncava para baixo.
Questão 12: Verdadeiro. Um sistema consistente possui uma única solução.
Questão 13: Custo fixo = 20 e Custo variável = 5 por unidade.
Questão 14: A solução é x = -1. Justificativa: pela propriedade distributiva e isolar ‘x’.
Questão 15: Sistema incompatível não possui soluções. Exemplo: x + y = 2 e x + y = 3.
Questão 16: Raízes: x = 2 e x = 4; relação: as raízes cruzam o eixo x no gráfico.
Questão 17: Verdadeiro, toda equação do 1º grau pode ser reescrita nessa forma ao resolver para ‘y’.
Questão 18: A soma das raízes é igual a -b/a e o produto igual a c/a.
Questão 19: Forma canônica é f(x) = a(x-h)² + k; exemplo: f(x) = 2(x-3)² + 1.
Questão 20: Preço final = R$ 85,00 (R$ 100,00 – 15% de desconto).
Finalização: As questões abordam de forma diversificada os conceitos fundamentais de equações de 1º e 2º graus e sistemas, proporcionando um bom equilíbrio entre teoria e aplicação prática.
